Differentialgleichung
Berechnung mit Hermite Splines


Heun-Start
Daten:
Schritte:
Schritt:
ε:
r' = SQRT(M*G*(e²-(a-r)²)/a)/r
φ' = SQRT(M*G*(a²-e²)/a)/r²; r = (a²-e²)/(a+e*cos( φ ))
φ' = SQRT( M*G*(a²-e²)/a)*(a+e*cos(φ))²/(a²-e²)²
Dividiert man durch die Kreisgeschwindigkeit und setzt a=1, so erhält man:
r' = SQRT(ε²-(1-r)²)/r; r''= (1-r)/r²-r'²/r
φ' = SQRT(1-ε²)*(1+ε*cos(φ))²/(1-ε²)²
 
φ bei Schritte/10
                   
 
///L.Resch//// 
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Erklärung:
Hermite Polynome haben den Vorteil, dass man Ableitungen mit benutzen kann.
Dazu berechnet man wie mit der Gragg Methode den übernächsten Wert. Der zurückliegenden Wert wird dann als Mitte eines Hermite Polynome verbessert. Den allerersten Euler Wert kann man mit Heun verbessern. Bei der Gleichung von r tritt als Startfunktion der Wert null auf. Ein Euler Schritt ist damit nicht möglich. Wenn man die zweite Ableitung kennt, kann man den Startwert mit einer Parabel berechnen. Da nun die zweite Ableitung zur Verfügung steht, wurde hier ein Hermite Polynom 5. Grades, statt dem einfacheren 3. Grades benutzt. Formeln:
w1, w2: Werte, a1, a2: Ableitungen, b1, b2: 2.Ableitung
Kubisch Wert in Mitte: wm=(w2+w1)/2-h*(a2-a1)/4
5. Grades Wert in Mitte: wm=(w2+w1)/2 -5*h*(a2-a1)/16 + h²*(b2+b1)/16
Parabel: w2=w1+a1*h+b1*h²/2