Erklärung:

Dieser Simplex funktioniert nach der revidierten Methode mit optimierten Zuwachs.
Die Basis ist immer die Einheitsmatrix, BV(i) = {0, 0,... ,1,0,..}
Das hat zur Folge das man den Wert einer BV , bei jeden Schritt, sofort ablesen kann ( dort, wo die Maxwerte stehen ).
Basisvariable ( BV ) sind zu anfangs nur Schlupfvariable.
Nichtbasisvariable (NBV) sind immer null.
Bei jedem Iterationsschritt wird eine Basisvariable mit einer Nichtbasisvariable getauscht. Die Basis wird dann invertiert, es entsteht wieder die Einheitsmatrix.
Eine tauschwürdige NBV ergibt einen Zuwachs der Zielfunktion. Hier wird jene NBV gewählt, die den kleinsten Rundungsfehler verursacht. Dabei wird das Verhältnis des (Betrag-)max. Spaltenelements zum möglichen Pivot geprüft.
Wenn negative Maxwerte auftreten, gibt es folgenden Trick:
Man fügt zwei Variable dazu, die nach Voraussetzung null sind.

( N1 + N2 = 0 , N1 > 0, N2 > 0 )

N1 ist dort -1, wo die Maxwerte negativ sind, bei N2 ist N1 1, woanders ist N1 0.
diese NB-Variable N1 wird dann mit der Basisvariable mit dem betragsgrößten Negativwert getauscht.
N2 übernimmt dann alle negativen Basiswerte.
N2 wird dann mit der gleichen Methode maximiert, bis sie null erreicht.
Anschließend wird die Zielfunktion optimiert .
Simplexmethode allemein:
Aus dem Problem:

	v11*x1 + v12*x2 + v13*x3 + ..+ v1k*xk <= b1
	v21*x1 + v22*x2 + v23*x3 + ..+ v2k*xk <= b2
	..................
	vm1*x1 + vm2* x2 + vm3*x3 + ..+ vmk*xk <= bm
	a1*x1 + a2* x2 + a3*x3 + ..+ ak* xk =  Z 
	x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0 ... xk >= 0

entsteht das Gleichungssystem:

	v11*x1 + v12*x2 + v13*x3 + ..+ v1k*xk + s1 = b1
	v21*x1 + v22*x2 + v23*x3 + ..+ v2k*xk  + s2 = b2
	..................
	vm1*x1 + vm2* x2 + vm3*x3 + ..+ vmk*xk + sm = bm
	-a1*x1 - a2*x2 - a3*x3 - ..- ak*xk + Z = maximal
	x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0 ... xk >= 0
	s1 >= 0, s2 >= 0, s3 >= 0 ... sm >= 0

s (1...m) heißen Schlupfvariable, Z ist die Zielfunktion, Sie soll maximiert werden. Jede Lösung, die die Bedingungen xi, sj >= 0 erfüllt, nennt man zulässige Basislösung.
Man kann sofort eine Basis angeben:
I * si = bi ( i = 1 .. m) I ist Einheitsmatrix. Und die Zeile 0 wobei s0 = Z , v0i = -ai ( i = 1 .. k) Es ergibt sich die Start-Lösung b0 = 0. b0 soll nun maximiert werden.
Als Matrix hat man die Einheitmatrix für Z und die Schlupfvariablen. Die Spaltenvektoren der vij sind noch 0, es sind jetzt die NBV's x(1...k) . Die bi ergeben die Werte der Basisvariablen, die sollen ja immer >= 0 sein, während NBV gleich 0 sind. Wenn man nun eine NBV mit einer BV tauscht, muß man darauf achten, daß, nach der Invertierung der Basis mit dem vertauschten Spaltenvektor, die bi ( i = 1 .. m) >= 0 bleiben. Es entsteht wieder eine zulässige Basislösung.
So werden, bei der revidierten Methode, einfach alle NBV und der Vektor aus bi (i = 1 .. m) mit der Inversen der Basis multipliziert.
Sonderformen von Simplex-Lösungen:
Keine Lösung:
Es gibt immer eine Lösung: Wenn alle bi >= 0 sind, sonst gibt es keine zulässige Lösung.
Unendliche Lösung:
Die Zielfunktion wächst in diesem Fall in beliebiger Größe, wenn ein Vektor x existiert, der die vorgeschrieben Bedingungen erfüllt; er aber beliebig groß skaliert werden kann.
Mehrere Lösung:
Es könnte sein, dass verschieden Lösungen das gleiche Optimum erzeugen. Wenn x , y diese Lösungen sind, so ist auch alpha * x + beta y eine Lösung, mit alpha, beta >= 0 und alpha + beta = 1