| cg mit optimaler Abstiegsrichtung Verfahren der konjugierten Residuen (CR) von E. Stiefel | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| schrittweise Iteration Iteration auf einmal |
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Für die optimale Abstiegsrichtung F ( x ) = A ( x + alpha * p ) - b ergibt sich für alpha ( Min F * F ) = - p A y / ( A p )2 Hier werden die Residuen bei jedem Schritt strikt kleiner. Als Vergleich wird hier das normale cg mit alpha = - p y / p A p gegenübergestellt. |
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| Zeilen |
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| Methode: | weniger Multiplikationen | ||||
| A x = b | b[..] | X 1 | X 2 | X 3 | X 4 | X 5 | X 6 | X 7 | X 8 | X 9 | X 10 |
| x[..] | |||||||||||
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| Iteration Schritt | Aktuelle Iterations-Werte | ||||||||||
| Beträge | alpha: | beta: | y²: | ||||||||
| Betrag: | X 1 | X 2 | X 3 | X 4 | X 5 | X 6 | X 7 | X 8 | X 9 | X 10 | |
| X2 | |||||||||||
| Betrag: | Y 1 | Y 2 | Y 3 | Y 4 | Y 5 | Y 6 | Y 7 | Y 8 | Y 9 | Y 10 | |
| Y2 | |||||||||||
| Y mit alpha Ap | |||||||||||
Erklärung:
A x = b , A symmetrisch, Residuum F ( x i ) = y i =A x i -b
Beta: p i + 1 = y i + beta i * delta x i
Alpha : delta x i = alpha i * p i
Das Residuum soll aus A y berechnet werden. Das erfordert n Multiplikation pro Iterationen mehr
als bei der Auswertung aus A p, da auch A p = A y + beta * delta y berechnet werden muss.
Dafür kann man die Bestimmung von A y vor der Berechung von Beta ausführen.
A y kann auch so bestimmt werden: A y = F ( x + y ) - y
| optimale Richtung | normale Richtung | |
|---|---|---|
| unverkürzt | alpha = - p A y / (A p)2 | alpha = - p y / p A p |
| beta = - A y *delta y / ( delta y ) 2 | beta = - A y * delta x / ( delta y * delta x ) | verkürzt | alpha = - y A y / (A p)2 | alpha = - y 2 / p A p |
| beta = y A y / ( altalpha * alt y A alt y) ) | beta = y 2 / ( altalpha * alt y 2 ) |