Quadratsummen Q

Man kann statt einer Householder-Transformation auch Givens-Rotationen verwenden, um bei einem Spaltenvektor Nullen unter dem Pivot-Element zu erzeugen. Multipliziert man alle Givens-Rotationen zu einer Matrix, so entsteht eine orthogonale Hessenbergmatrix, die Quadratsummen Q.
Wieso der Name Quadratsummen Q?
Einfacher kann man diese Hessenbergmatrix über Quadratsummen erzeugen. Als erste Zeile nimmt man den Vektor v. Die folgenden Zeilen stimmen mit v ab dem Diagonalelement überein. Das Subdiagonalelement berechnet sich so dass die Zeile zur Zeile darüber oder der ersten Zeile orthogonal wird. Der Wert ist damit die negative Quadratsumme ab Diagonale, dividiert durch das darüber liegende Diagonalelement. Wenn dieses gleich Null ist, setzt man das Subdiagonalelement gleich eins, und die übrigen Zeilenelemente gleich null. Ein Sonderfall ergibt sich, wenn die Quadratsumme gleich Null wird. Dann ergänzt man die restlichen Zeilen mit Einsen in der Hauptdiagonale. Jetzt sind alle Zeilen orthogonal und man muss nur noch normalisieren.
Eigenschaften:
Die Transponierte der Quadratsummen Q ergibt einen Eigenraum für Projektionsmatrizen. v'v^T, I-v'v^T oder von Householder-Spiegelungen. Sie steht damit aber in Konkurrenz zur Householder-Matrix.
Weiter: Jede orthogonale Hessenbergmatrix mit Subdiagonalelementen ungleich Null ist eine Quadratsummen Q, bestimmt durch den ersten Zeilenvektor (Ev. bis auf einzelne Zeilenfaktoren mit -1). Bei Hessenbergmatrizen mit Subdiagonalelemente ungleich Null ist das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom. Damit und weil eine orthogonale Matrix diagonalähnlich ist, hat die Quadratsummen Q nur einfache Eigenwerte.
Beispiel:
Vertauscht man zyklisch die Zeilen der Einheitsmatrix um eine Zeile, so entsteht eine Quadratsummen Q. Diese Permutations-Matrix hat das Minimalpolynom xⁿ-1. Die Potenzen der Matrix bilden eine endliche Gruppe mit Aⁿ⁺¹ = A. Die Eigenwerte trennt alle der gleiche Winkel.

Ludwig Resch