Schwerkraft eines Sternes

Nach Newton beträgt die Schwerkraft zweier Massen F=G*m1*m2/D², D ist Abstand.
m1 soll 1 ME ( Masseneinheit) betragen und relativ klein zur Gesamtmasse sein. Nimmt man einen kleinen Massenpunkt mp von m2 im Abstand d von m1 so ist diese Teilkraft ft= G*mp/d². Es ist aber die Gesamtkraft zu bestimmen. h sei das Lot von mp zu der Geraden von m1 in Richtung der Gesamtkraft, a die Länge der Strecke von m1 zum Fußpunkt vom Lot, so beträgt der Anteil der Teilkraft f=ft *a/d = G*mp *a/ d³= G*mp*a/sqrt(a²+h²)³ nach Pythagoras und Kosinüsse.
Es soll die Schwerkraft an eine Hohlkugel (Radius R) bestimmt werden. m1 sei ld (in Längeneinheiten) von deren Mittelpunkt entfernt. (Massendichte) * G =K. x ist 0 im Mittelpunkt. a ist dann (ld-x) so beträgt der Punktanteil:
f=K*(ld-x)/sqrt((ld-x)²+h²)³
Da h bei gleichem x an einem Schnittkreis (Richtung quer) gleich groß ist, reicht es, an einem Halbkreis (Längsrichtung) zu integrieren, mit der modifizierten Massendichte K*2 *PI *h, also der Umfang des Schnittkreises mal K. Als Integrationsweg ist der Kreisbogen s= R*phi zu nehmen. Mit h=R*sin(phi) und x=R*cos (phi) ist der Integrand:
(2*PI*K*R*sin(phi) *(ld -R*cos(phi))/ sqrt ((ld-R*cos(phi))²+R²*sin(phi)²)³ )*R
Nimmt man die relative Länge L = ld/R so kürzt sich R heraus, die Längeneinheit steckt in der Massendichte. Weiter kann man vereinfachen mit sin²+cos²=1 zu:
K*2*Pi *(L-cos(phi))*sin(phi)/sqrt( L(L-2*cos(phi))+1)³ von 0 bis Pi
Dieses Integral ist elementar lösbar (Substitution z =cos(phi)) und ergibt die Lösung:
4 *PI*K/ L² für L größer als 1, 0 für L kleiner 1, unstetig für L=1 (nicht lösbar). Innerhalb der Hohlkugel heben sich positive und negative Kräfte auf - keine Schwerkraft.
So kann man sehr einfach die Schwerkraft eines Sternes berechnen. Außerhalb der Oberfläche ergibt sich m1 * G * Gesamtmasse / D², innerhalb ist nur mehr die Masse des verbleibenden Restkern zu berücksichtigen, ohne die Massen der oberhalb der zurückgelegten Weges liegenden Kugelschalen.
Die Schwerkraft nimmt also stetig ab, bis zum Mittelpunkt. Die maximale Schwerkraft ist also an der Oberfläche.
Wenn die Welt endlich wäre, gäbe es eine Rotverschiebung des Lichtes der äußeren Sterne allein verursacht von der Schwerkraft, die hier maximal wäre.

  Ludwig Resch