Zusammenhang in der Schneekugel-Theorie

Dieses Bild soll eine Punktmenge im zweidimensionalen Raum darstellen. Es fehlen zur physikalischen Realität die dritte Raumdimension und die Zeit. Es ist nur eine Momentaufnahme. Das euklidische Raumgitter gilt zwar für jeden Punkt, hat aber nicht für alle Punkte die gleichen Maßstäbe. Jeder Meter in solchen Punkten ist also größer oder kleiner als der Meter eines anderen Punktes. Nach dem Schneekugel-Gesetz ist aber jeder Meter vor Ort auch nur ein Meter. Bringt man einen Meter mit Ruhemasse von einem Punkt zu einem anderen, so ändert er seine lokale Länge nicht, obwohl er vielleicht größer oder kleiner wird. Auch auf dem Weg dorthin ist keine Änderung bemerkbar. Nur Licht ohne Ruhemasse ändert seine Farbe. Der euklidische Raum, der zu anderen Punkten einen falschen Maßstab hat, wirkt wie ein Tangentialraum, der disjunkt zu anderen Tangentialräumen vereinbart ist.
Mit dem Theorem S2 der Schneekugel-Theorie, also mit dem Kehrwert der Maßstabsveränderung, kann man das physikalische Verhalten eines anderen Punktes berechnen. S2 gibt also einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Orten.
Gibt es durch einen Punkt mehrfach differenzierbare Kurven, so hat auch eine gerade Linie wegen der veränderten Maßstäbe eine zweite Ableitung. Man erhält so eine Metrik. In dieser Metrik muss man die Kehrwerte der Maßstabsveränderungen verwenden, da man zur Berechnung auf benachbarte Punkte zugreift. Nach dem "Theorema egregium" von Gauß kann man mit dieser Metrik einen Raum mit gekrümmter Raumzeit konstruieren.
Anmerkung: Größen mit verschiedenen linearen Maßstäben können höchstens in einem Punkt übereinstimmen.

Ludwig Resch